Задача 58476

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса, сходится в другом.

Решение

Проведем касательную в точке X, лежащей на эллипсе, и биссектрису ко внешнему углу при вершине X треугольника F₁XF₂. Если бы биссектриса не совпала с касательной, она пересекла бы эллипс в другой точке M X. Отразим F₂ относительно биссектрисы. Получим точку F₂'. Имеем

F₁M + F₂M = F₁M + F₂'M > F₁F₂' = F₁X + F₂X,

т. е. M лежит вне эллипса — противоречие. Значит, биссектриса совпадает с касательной, и следовательно, угол падения (т. е. угол прямой F₁X c касательной) равен углу отражения (т. е. углу прямой F₂X с касательной). Таким образом, доказано, что лучи, исходящие из F₁, соберутся в F₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.009