Информация о задаче

Задача 58479

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности.
б) Пусть d₁ и d₂ — расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величина d₁d₂ не зависит от выбора касательной.

Решение

Пусть O — центр эллипса, P₁ и P₂ -- проекции фокусов F₁ и F₂ на касательную, A — точка касания. Тогда $\angle$ P₁AF₁ = $\angle$ P₂AF₂ = $\varphi$ . Положим x = F₁A, y = F₂A. Величина x + y = c не зависит от точки A. Поэтому

P₁O² = P₂O² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+y}{2}\cos\varphi}\right.$ $\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$ cos $\displaystyle \varphi$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+y}{2}\cos\varphi}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+y}{2}\sin\varphi}\right.$ $\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$ sin $\displaystyle \varphi$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+y}{2}\sin\varphi}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{4}}$ .

Кроме того, F₁F₂² = x² + y² + 2xy cos 2 $\varphi$ = c² - 4xy sin² $\varphi$ , поэтому величина xy sin² $\varphi$ = d₁d₂ постоянна.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.012