Задача 58487

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

а) Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Проведем через точку B перпендикуляр к прямой OA и отложим на нем отрезки BP и BQ, равные OA. Докажите, что главные оси эллипса являются биссектрисами углов между прямыми OP и OQ.
б) На плоскости нарисована пара сопряженных диаметров эллипса. С помощью циркуля и линейки постройте его оси.

Решение

а) Точки A и B имеют координаты (a cos, b sin) и (a sin, - b cos). Точки P и Q имеют координаты

((a + b)sin, - (a + b)cos)    и    ((a - b)sin,(a - b)cos).

б) Требуемое построение, по сути дела, описано в задаче а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.020