Информация о задаче

Задача 58489

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.

Решение

Пусть ромб ABCD вписан в эллипс с центром O. Тогда радиус r вписанной окружности ромба равен высоте прямоугольного треугольника AOB, т. е.

$\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{OA^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{OB^2}}$ .

Для эллипса ${\dfrac{x^2}{a^2}}$ + ${\dfrac{y^2}{b^2}}$ = 1 прямые OA и OB имеют уравнения y = kx и y = - x/k, а точки A и B имеют координаты (x₀, y₀) и (x₁, y₁), где

x₀² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{k^2}{b^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\right)$ = 1, x₁² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k^2b^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}\right)$ = 1.5000

Поэтому

$\displaystyle {\frac{1}{OA^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{OB^2}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}{1+k^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}{1+\frac{1}{k^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$ ,

т. е. радиус r не зависит от положения ромба.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.022