Информация о задаче

Задача 58491

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

а) Из точки O проведены касательные OP и OQ к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что

$\displaystyle \angle$ POQ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ PF₁O + $\displaystyle \angle$ PF₂O).

б) Отрезок AB виден из фокусов F₁ и F₂ под углами $\varphi_{1}^{}$ и $\varphi_{2}^{}$ , соответственно. Докажите, что $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ = α + β (рис.).

Решение

а) Пусть $\angle$ PF₁Q = 2 $\alpha$ , $\angle$ PF₂Q = 2 $\beta$ , $\angle$ POF₁ = p, $\angle$ F₁OF₂ = q. Согласно задаче 31.013

$\displaystyle \angle$ PF₁O = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ PF₂O = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ F₂OQ = p;

из последнего равенства следует, что $\angle$ POQ = 2p + q.
Отрезки PF₁ и PF₂ образуют равные углы с касательной PO, поэтому

$\displaystyle \alpha$ + p = $\displaystyle \angle$ F₂PO = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \beta$ - (p + q),

т. е. $\angle$ POQ = 2p + q = $\pi$ - ( $\alpha$ + $\beta$ ) = $\pi$ - ${\dfrac{1}{2}}$ ( $\angle$ PF₁Q + $\angle$ PF₂Q).
б) Введем такие обозначения точек касания, как на рис. Согласно задаче а)

$\displaystyle \alpha$	= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ KF₁L + $\displaystyle \angle$ KF₂L),
$\displaystyle \beta$	= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ MF₁N + $\displaystyle \angle$ MF₂N).

Лучи F₁A и F₂B являются биссектрисами углов KF₁M и LF₂N соответственно, поэтому

$\displaystyle \varphi_{1}^{}$ = $\displaystyle \angle$ AF₁B = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ KF₁L + $\displaystyle \angle$ MF₁N).

Аналогично

$\displaystyle \varphi_{2}^{}$ = $\displaystyle \angle$ AF₂B = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ KF₂L + $\displaystyle \angle$ MF₂N).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.024