Информация о задаче

Задача 58492

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

К эллипсу с центром O проведены две параллельные касательные l₁ и l₂. Окружность с центром O₁ касается (внешним образом) эллипса и прямых l₁ и l₂. Докажите, что длина отрезка OO₁ равна сумме полуосей эллипса.

Решение

Пусть $\varphi$ — угол между любой из рассматриваемых касательных и осью Ox. Рассмотрим окружность S с центром ((a + b)cos $\varphi$ ,(a + b)sin $\varphi$ ), проходящую через точку A = (a cos $\varphi$ , b sin $\varphi$ ).
Касательная к эллипсу в точке A задается уравнением

$\displaystyle {\frac{a\cos\varphi}{a^2}}$ x + $\displaystyle {\frac{b\sin\varphi}{b^2}}$ y = 1.

Эта прямая перпендикулярна прямой AO₁, которая задается уравнением

y = $\displaystyle {\frac{a\sin\varphi}{b\cos\varphi}}$ x + c.

Поэтому окружность S касается эллипса.
Докажем теперь, что окружность S касается прямых l₁ и l₂. Пусть прямая l₁ касается эллипса в точке (- a cos $\alpha$ , b sin $\alpha$ ). Тогда она имеет уравнение

$\displaystyle {\frac{-x\cos\alpha}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{y\sin\alpha}{b}}$ = 1.

Это, в частности, означает, что tg $\varphi$ = ${\dfrac{b\cos\alpha}{a\sin\alpha}}$ . Квадрат расстояния от начала координат до прямой l₁ равен

$\displaystyle {\frac{b^2}{\sin^2\alpha}}$ ^. $\displaystyle {\frac{1}{1+{\rm tg}^2\varphi}}$ = b² $\displaystyle {\frac{\cos^2\varphi}{\sin^2\alpha}}$ = b²cos² $\displaystyle \varphi$ $\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}\right)$ = b²cos² $\displaystyle \varphi$ + a²sin² $\displaystyle \varphi$ .

Последнее выражение совпадает с квадратом радиуса окружности S. Для прямой l₂ получаем точно такое же выражение.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.025