Информация о задаче

Задача 58493

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса r с центром C, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках; O — центр эллипса, a и b — его полуоси. Докажите, что

OC² = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$ .

Решение

Нормаль к эллипсу в точке (x₀, y₀) задается уравнением

$\displaystyle {\frac{-y_0}{b^2}}$ x + $\displaystyle {\frac{x_0}{a^2}}$ y = x₀y₀ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}\right)$ .

Она пересекает большую полуось в точке с координатой

x₁ = b²x₀ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\right)$ = x₀ $\displaystyle {\frac{a^2-b^2}{a^2}}$ .

При этом

r² = y₀² + x₀² $\displaystyle {\frac{b^4}{a^4}}$ = b² - b²x₀² $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{b^2}{a^4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ - $\displaystyle {\frac{b^2}{a^4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{b^2}{a^4}}\right)$ .

Легко проверить, что

$\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$ = x₁².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.026