Информация о задаче

Задача 58495

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

N окружностей, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса r_i (2 $\leqslant$ i $\leqslant$ N - 1) касается окружностей радиуса r_{i - 1} и r_{i + 1}. Докажите, что если 3n - 2 > N, то

r_{2n - 1}(r₁ + r_{2n - 1}) = r_n(r_n + r_{3n - 2}).

Решение

Согласно задаче 31.027 числа r_i удовлетворяют рекуррентному соотношению

r_{i + 2} - kr_{i + 1} + r_i = 0,

поэтому r_p = a $\lambda_{1}^{p}$ + b $\lambda_{2}^{p}$ , где $\lambda_{1}^{}$ и $\lambda_{2}^{}$ — корни уравнения x² - kx + 1 = 0. Ясно, что $\lambda_{1}^{}$ $\lambda_{2}^{}$ = 1, т. е. r_p = a $\lambda^{p}_{}$ + b $\lambda^{-p}_{}$ . Требуемая формула проверяется теперь очевидным образом.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.028