Задача 58506

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Прямая l получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом 2. Из точки O прямой l проведены касательные OA и OB к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника AOB служит вершина параболы.

Решение

Касательные к параболе x² = 4y в точках A = (2t₁, t₁²) и B = (2t₂, t₂²) пересекаются в точке O = (t₁ + t₂, t₁t₂). В рассматриваемом случае t₁t₂ = - 2. Теперь уже легко проверить, что точка (0, 0) является ортоцентром треугольника AOB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Парабола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.039