Информация о задаче

Задача 58508

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Точки A и B лежат на гиперболе. Прямая AB пересекает асимптоты гиперболы в точках A₁ и B₁.
а) Докажите, что AA₁ = BB₁ и AB₁ = BA₁.
б) Докажите, что если прямая A₁B₁ касается гиперболы в точке X, то X — середина отрезка A₁, B₁.

Решение

а) Доказательство достаточно провести для равнобочной гиперболы. Пусть точки A и B имеют координаты $\left(\vphantom{x_1,\frac{1}{x_1}}\right.$ x₁, ${\frac{1}{x_1}}$ $\left.\vphantom{x_1,\frac{1}{x_1}}\right)$ и $\left(\vphantom{x_2,\frac{1}{x_2}}\right.$ x₂, ${\frac{1}{x_2}}$ $\left.\vphantom{x_2,\frac{1}{x_2}}\right)$ . Тогда прямая AB задаётся уравнением x + x₁x₂y = x₁ + x₂. Поэтому точки A₁ и B₁ имеют координаты $\left(\vphantom{0,\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}\right.$ 0, ${\frac{1}{x_1}}$ + ${\frac{1}{x_2}}$ $\left.\vphantom{0,\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}\right)$ и (x₁ + x₂, 0). Требуемое равенство теперь легко доказывается, поскольку его достаточно проверить для проекций точек на одну из осей координат.
б) Непосредственно следует из а).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Гипербола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.041