Информация о задаче

Задача 58518

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

f = $\displaystyle \lambda$ l_ABl_CD + $\displaystyle \mu$ l_BCl_AD,

где $\lambda$ и $\mu$ — некоторые числа.

Решение

Первое решение. Пусть X — точка данной окружности, отличная от точек A, B, C и D. Выберем числа $\lambda_{1}^{}$ и $\mu_{1}^{}$ так, что

$\displaystyle \lambda_{1}^{}$ l_AB(X)l_CD(X) + $\displaystyle \mu_{1}^{}$ l_BC(X)l_AD(X) = 0,

и рассмотрим кривую, заданную уравнением f₁ = 0, где f₁ = $\lambda_{1}^{}$ l_ABl_CD + $\mu_{1}^{}$ l_BCl_AD. Эта кривая задается уравнением второй степени и проходит через точки A, B, C, D и X. Но если кривая второй степени пересекает окружность в пяти различных точках, то эта кривая совпадает с окружностью, а значит, f = $\alpha$ f₁, где $\alpha$ — некоторое число.

Второе решение. Введем косоугольную систему координат с осями AB и AD. Тогда прямые AB и AD задаются уравнениями y = 0 и x = 0 соответственно, а уравнение f = 0, задающее окружность, является уравнением второй степени относительно x и y.
Ограничения функций f и $\lambda$ l_ABl_CD + $\mu$ l_BCl_AD = $\lambda$ yl_CD + $\mu$ xl_BC на любую из осей координат являются квадратными трехчленами с двумя общими корнями (A и B, или A и D). Поэтому числа $\lambda$ и $\mu$ можно подобрать так, что многочлен

P(x, y) = f (x, y) - $\displaystyle \lambda$ yl_CD(x, y) - $\displaystyle \mu$ xl_BC(x, y)

обращается в нуль как при x = 0, так и при y = 0. Это означает, что он делится на xy, т. е. P(x, y) = qxy, где q — константа. В точке C многочлен P обращается в нуль, а xy $\ne$ 0. Поэтому q = 0, т. е.

f = $\displaystyle \lambda$ l_ABl_CD + $\displaystyle \mu$ l_BCl_AD.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.051