Информация о задаче

Задача 58519

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Алгебраические кривые	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Рассмотрим шестиугольник ABCDEF, вершины которого лежат на конике f = 0. Четырехугольники ABCD, AFED и BEFC вписаны в эту конику, поэтому f можно представить в любом из следующих видов:

f = $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ l_ABl_CD + $\displaystyle \mu_{1}^{}$ l_ADl_BC,	(1)
f = $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ l_AFl_ED + $\displaystyle \mu_{2}^{}$ l_ADl_EF,	(2)
f = $\displaystyle \lambda_{3}^{}$ l_BEl_CF + $\displaystyle \mu_{3}^{}$ l_BCl_EF.	(3)

Приравнивая выражения (1) и (2), получаем

$\displaystyle \lambda_{1}^{}$ l_ABl_CD - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ l_AFl_ED = ( $\displaystyle \mu_{1}^{}$ l_BC - $\displaystyle \mu_{2}^{}$ l_EF)l_AD.

Пусть X — точка пересечения прямых AB и ED. В точке X обращаются в нуль функции l_ABl_CD и l_AFl_ED, а функция l_AD в этой точке в нуль не обращается. Следовательно, в точке X обращается в нуль функция $\mu_{1}^{}$ l_BC - $\mu_{2}^{}$ l_EF, т. е. точка X лежит на прямой $\mu_{1}^{}$ l_BC = $\mu_{2}^{}$ l_EF. Аналогично доказывается, что точка пересечения прямых CD и AF лежит на прямой $\mu_{1}^{}$ l_BC = $\mu_{2}^{}$ l_EF. Очевидно также, что точка пересечения прямых BC и EF лежит на прямой $\mu_{1}^{}$ l_BC = $\mu_{2}^{}$ l_EF. В результате получаем следующее утверждение.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.052