Задача 58526
|
|
 |
Условие
Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058:а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.
Решение
а) Пусть точки C' и D' симметричны точкам C и D относительно середины M отрезка AB. Тогда точки A, B, C, D, C', D' лежат на одной конике с центром M, поэтому MПусть O — точка пересечения прямых AB и CD. Точка O служит центром вырожденной коники, состоящей из пары прямых AB и CD. Поэтому O
б) Середины сторон четырехугольника ABCD образуют параллелограмм, центр которого совпадает с центром масс точек A, B, C, D. Этот параллелограмм вписан в конику Г, поэтому его центр совпадает с центром коники.
в) Следует из а).
г) Фиксируем в рассматриваемом пучке коник одну конику, отличную от окружности и параболы. Из задачи 31.057 следует, что оси всех остальных коник будут перпендикулярны осям фиксированной коники. (Оси коники взаимно перпендикулярны, поэтому оси всех остальных коник параллельны осям фиксированной коники.)
Среди коник пучка есть эллипс и есть гиперболы двух разных типов: ветвь гиперболы, содержащая точку A, может содержать либо точку B, либо точку D. Поэтому среди коник пучка есть две параболы, причем их оси взаимно перпендикулярны. Центрами этих двух парабол служат бесконечно удаленные точки двух взаимно перпендикулярных направлений.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 31 |
| Название | Эллипс, парабола, гипербола |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Пучки коник |
| Тема | Кривые второго порядка |
| задача | |
| Номер | 31.059 |
