Информация о задаче

Задача 58533

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки A_t = (1 + t, 1 + t) и B_t = (- 1 + t, 1 - t). Описать множество, заметаемое всеми прямыми A_tB_t для всех вещественных чисел t.

Решение

Прямая A_tB_t задается уравнением

$\displaystyle {\frac{x-1-t}{y-1-t}}$ = $\displaystyle {\frac{1+t+1-t}{1+t-1+t}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{t}}$ ,

т. е.

y = 1 - t² + tx = - $\displaystyle \left(\vphantom{t-\frac{x}{2}}\right.$ t - $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{t-\frac{x}{2}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle {\frac{x^2}{4}}$ + 1.

При фиксированном x, когда t пробегает все действительные значения, y принимает все значения, не превосходящие (x²/4) + 1. Таким образом, искомое множество задается неравенством y $\leqslant$ (x²/4) + 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.066