Информация о задаче

Задача 58534

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны точка O и прямая l. Точка X движется по прямой l. Описать множество, которое заметают перпендикуляры к прямой XO, восставленные из точки X.

Решение

Выберем систему координат так, чтобы прямая l, задавалась уравнением x = 0, а точка O имела координаты (1, 0). Точка X = (x, y) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда окружность с диаметром OX пересекает прямую l. Это означает, что расстояние от центра этой окружности до прямой l не превосходит ее радиуса, т. е.

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+1}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{x+1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+1}{2}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x-1}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{x-1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x-1}{2}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle {\frac{y^2}{4}}$ .

Таким образом, искомое множество задается неравенством y² $\geqslant$ 4x.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.067