Задача 58536

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через каждую точку X, лежащую внутри данной окружности S, проводится прямая l, ортогональная прямой XO, где O — данная точка, не лежащая на окружности S. Описать множество, заметаемое всеми прямыми l.

Решение

Можно считать, что центр окружности S расположен в начале координат, а точка X имеет координаты (c, 0). Точка A = (x, y) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда окружность S пересекает окружность S₁ с диаметром AO. Пусть a — радиус окружности S, R — радиус окружности S₁, d — расстояние между центрами этих окружностей. Окружности S и S₁ пересекаются тогда и только тогда, когда из отрезков a, d, R можно составить треугольник, т. е.

(R - a)² d² (R + a)².

Учитывая, что 4d² = (x + c)² + y² и 4R² = (x - c)² + y², приходим к неравенству

a² - 2ra cx 2Ra + a²,

которое эквивалентно неравенству (cx - a²)² 4a²R², т. е.

(c² - a²)x² - a²y² a²(c² - a²).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.069