Информация о задаче

Задача 58541

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Решение

Пусть ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey = f — уравнение одной коники, а $\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$ ${\frac{P(t)}{A(t)}}$ , ${\frac{Q(t)}{A(t)}}$ $\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$ — рациональная параметризация второй коники. Тогда точки их пересечения соответствуют корням уравнения

aP² + 2bPQ + cQ² + 2dPA + 2eQA - fA² = 0.

Согласно задаче 31.073 степень этого уравнения не превосходит 4. (Вообще говоря, мы могли бы получить уравнение вида g = 0, где g — некоторое число. Но это соответствует либо случаю двух совпадающих коник, либо случаю непересекающихся коник.) Остается заметить, что уравнение, степень которого не превосходит 4, имеет не более 4 корней.
Замечание. Если речь идет не о кониках, а о произвольных кривых второго порядка, то несовпадающие вырожденные кривые второго порядка могут иметь общую прямую.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	7
Название	Рациональная параметризация
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.074