Информация о задаче

Задача 58548

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

Решение

а) Сначала найдем уравнение прямой OK в трилинейных координатах. Точка O имеет трилинейные координаты (cos A : cos B : cos C), а точка K имеет трилинейные координаты (a : b : c). Легко проверить, что обе эти точки лежат на прямой

bc(b² - c²)x + ac(c² - a²)y + ab(a² - b²)z = 0.

Поэтому гипербола Киперта (изогонально сопряженная этой прямой) задается уравнением

$\displaystyle {\frac{bc(b^2-c^2)}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{ac(c^2-a^2)}{y}}$ + $\displaystyle {\frac{ab(a^2-b^2)}{z}}$ = 0,

т.е. bc(b² - c²)yz + ac(c² - a²)xz + ab(a² - b²)xy = 0.
б) В барицентрических координатах гипербола Киперта задается уравнением

(b² - c²) $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ + (c² - a²) $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \gamma$ + (a² - b²) $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.081