Задача 60323

Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Решение

  Докажем по индукции, что количество частей равно  1 + ½ n(n + 1).  База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции. Пусть  n > 1.  По предположению индукции перед проведением n-й прямой было  1 + ½ (n – 1)n  частей. Новая прямая делится точками пересечения со старыми прямыми на n интервалов. Каждый из этих интервалов разбивает одну часть на две. Следовательно, добавится n частей. Поэтому всего частей станет  1 + ½ (n – 1)n + n = 1 + ½ n(n + 1).

Ответ

1 + ½ n(n + 1).

Замечания

Из решения видно, что если прямые не находятся в общем положении, то количество частей будет меньше указанного в ответе.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	3
Название	Индукция в геометрии и комбинаторике
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.050