Задача 60400

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11 Название задачи: Полиномиальная теорема.

Условие

Докажите, что в равенстве   (x₁ + ... + x_m)ⁿ  =   коэффициенты  C(k₁,..., k_m)  могут быть найдены по формуле  

Решение 1

  Чтобы получить одночлен    из произведения скобок   (x₁ + ... + x_m)...(x₁ + ... + x_m)   надо выбрать k₁ скобок, из которых будет взят множитель x₁;  k₂ скобок, из которых будет взят множитель x₂;  ...,  k_m скобок, из которых будет взят множитель x_m.  Первую выборку можно сделать    способами, после этого вторую –    способами и т. д.
  Следовательно, коэффициент  C(k₁, ..., k_m)  равен произведению

Решение 2

  Коэффициент  C(k₁, ..., k_m)  равен числу анаграмм слова  x₁...x₁x₂...x₂...x_m...x_m  (числу слов, которые можно составить из k₁ букв x₁, k₂ букв x₂, ..., k_m букв x_m).  Далее см. решение задач 60394 и 30330.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	3
Название	Размещения, перестановки и сочетания
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	02.066