Задача 60468

Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что  d > 30000.

Решение

  Пусть  p₁ < p₂ < ... < p₁₅  – простые числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью d.
  Заметим, что p₂ и p₃ – нечетные простые числа. Значит,  d = p₃ – p₂  четно.
  p₃, p₄ и p₅ – простые числа, не кратные 3. Какие-то два из них сравнимы по модулю 3. Значит, либо d, либо 2d кратно 3. В любом случае d кратно 3.
  Аналогично доказывается, что d кратно 5 и 7. Следовательно, d кратно  2·3·5·7 = 210.
  Поэтому  p₂ = p₁ + d > 210.  Значит, p₂, p₃, ..., p₁₄ – простые числа, не кратные 13. Как выше, отсюда следует, что d кратно 13. Аналогично доказывается, что d кратно 11. Следовательно, d кратно  210·11·13 = 30030 > 30000.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.016