Задача 60471

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что при  n > 2  числа  2ⁿ – 1  и  2ⁿ + 1  не могут быть простыми одновременно.

Решение

   Первый способ. При нечётном n  2ⁿ + 1  делится на  2 + 1 = 3,  а при чётном  n = 2m   2ⁿ – 1 = 4^m – 1  делится на  4 – 1 = 3.

   Второй способ. Из трёх последовательных чисел  2ⁿ – 1,  2ⁿ,  2ⁿ + 1  одно делится на 3. Но 2ⁿ на 3 не делится. Значит, одно из двух оставшихся чисел кратно 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.019