Задача 60479

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть  f_n = 2²ⁿ + 1.  Докажите, что  f_n  делит  2^f_n – 2.

Решение

Так как  2ⁿ > n + 1,  то 2²ⁿ делится на 2ⁿ⁺¹. Значит,  2²²ⁿ – 1  делится на   2²ⁿ⁺¹ – 1.  Но тогда  2^f_n – 2 = 2(2²²ⁿ – 1)  делится на  2²ⁿ⁺¹ – 1 = f_n(f_n + 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.027