Задача 60502

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что следующие дроби несократимы при всех натуральных значениях n:
  а)  ;   б)  ;   в)  .

Решение

а)  2(n + 7) – (2n + 13) = 1,  значит,  НОД(2n + 13, n + 7) = 1.

б)  2n² – 1 – 2(n + 1)(n – 1) = 1,  значит,  НОД(2n² – 1, n + 1) = 1.

в)  n² + 1 – (n² – n + 1) = n,  НОД(n² + 1, n) = 1,  значит,  НОД(n² + 1, n² – n + 1) = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.050