Задача 60557

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Числа Каталана ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Произведения и факториалы ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число      целое.

Решение

   Заметим, что      а     только когда  n + 1  делится на p^α. Но в этом случае

Значит,     Из формулы Лежандра теперь следует, что каждое простое число p входит в разложение (2n)! в степени не меньшей, чем в разложение  n!(n + 1)!,  то есть (2n)! делится на  n!(n + 1)!.

Замечания

Разумеется, утверждение сразу следует из результата задачи 60451 б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.105