Задача 60571

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Деление с остатком ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что для любого натурального m существует число Фибоначчи F_n  (n ≥ 1),  кратное m.

Решение

Рассмотрим остатки от деления чисел F₁, F₂, ... на m. По двум соседним элементам этой последовательности она однозначно восстанавливается влево и вправо. Поэтому эта последовательность циклически повторяется и 0 (остаток от деления F₀ на m) встретится в ней бесконечно много раз.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	4
Название	О том, как размножаются кролики
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	03.119