Задача 60593
|
Название задачи: Фибоначчиевы коэффициенты. |
 |
Условие
| 1 | ||||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 2 | 2 | 1 | |||||||||||
| 1 | 3 | 6 | 3 | 1 | ||||||||||
| 1 | 5 | 15 | 15 | 5 | 1 | |||||||||
| 1 | 8 | 40 | 60 | 40 | 8 | 1 | ||||||||
| 1 | 13 | 104 | 260 | 260 | 104 | 13 | 1 |
Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов
а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии
б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через
и
(аналогичную равенству б) из задачи 60413).
в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.
Подсказка
а) Запишите равенство из условия в виде
в) Формула п. б) позволяет доказать это по индукции.
Решение
б) Согласно задаче 60566 Fn = Fk+(n–k) = Fk–1Fn–k + FkFn–k+1. Отсюда
Согласно той же задаче Fn = Fk+1+(n–k–1) = FkFn–k–1 + Fk+1Fn–k. Отсюда аналогично получаем
Ответ
б)
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | О том, как размножаются кролики |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 03.141 |
