Задача 60604

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Разлагая число ^a/_b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  ax – by = 1,  если
  a)  a = 101,  b = 13;   б)  a = 79,  b = 19.

Решение

  a)  ¹⁰¹/₁₃ = [7; 1, 3, 3].  [7; 1, 3] = ³¹/₄,  поэтому (см. задачу 60603)  (4, 13)  – частное решение данного уравнения. Общее решение находится по формуле из задачи 60514.

  б)  ⁷⁹/₁₉ = [4; 6, 3].  [4; 6] = ²⁵/₆,  поэтому  (–6, –25)  – частное решение.

Ответ

а)  x_k = 4 + 13k,  y_k = 31 + 101k  (k ∈ Z);   б)  x_k = – 6 + 19k,  y_k = – 25 + 79k  (k ∈ Z).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.152