Задача 60608

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [a₀; a₁, ..., a_n, ...].  Докажите, что     где Q_k – знаменатели подходящих дробей.

Решение

Согласно задаче 60607  α = ^P₁/_Q1 + (^P₂/_Q2 – ^P₁/_Q1) + (^P₃/_Q3 – ^P₂/_Q2) + ...  (частичные суммы этого ряда равны ^P_n/_Qn). Согласно задаче 60602 б) этот ряд совпадает с рядом в условии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.156