Задача 60618

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите равенство:  []  = .

Решение

Нетрудно проверить, что последовательность  p_n =   удовлетворяет начальным условиям  p₁ = 2,  p₂ = 5  и рекуррентному уравнению  p_n+2 = 2p_n+1 + p_n,  а последовательность  q_n =   – начальным условиям  q₁ = 1,  q₂ = 2  и рекуррентному уравнению  q_n+2 = 2q_n+1 + q_n.  Отсюда следует, что  ^p_n/_qn  – (n–1)-я подходящая дробь к числу  [2; (2)] = 1 +   (см. задачу 60613).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.166