|
|
 |
Условие
Докажите, что для любых целых чисел p и q (q ≠ 0), справедливо неравенство
Решение
Предположим, что для некоторой дроби p/q. Согласно задаче 60619 число p/q является подходящей дробью Pn/Qn к
.
Рассмотрим последовательность чисел qn – |Pn+kQn – PnQn+k|. Она удовлетворяет начальным условиям q0 = 0, q1 = 1 и рекуррентному соотношению qk = 2qk–1 + qk–2 (k ≥ 2). Поэтому числа qn совпадают
со знаменателями подходящих дробей к :
qk = Qk–1 (k ≥ 1), то есть
Чтобы получить противоречие с исходным предположением, достаточно
доказать неравенство
Свойства чисел Qn похожи на свойства чисел Фибоначчи. В частности, для них можно доказать равенство, аналогичное соотношению из задачи 60566:
Qn+k = Qk–1Qn+1 – Qk–2Qn. Поэтому
Остается заметить, что Qn+1/Qk ≤ 5/2 и Qk–2/Qk–1 ≤ 1/2 .
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Цепные дроби |
| Тема | Цепные (непрерывные) дроби |
| задача | |
| Номер | 03.169 |
