Задача 60654

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Обыкновенные дроби ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Докажите, что для любого простого числа  p > 2  числитель дроби  ^m/_n = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_p–1  делится на p.

Подсказка

Решение

Разобьём дроби на пары со знаменателями k и  p – k.  Сумма таких дробей имеет числитель p, а её знаменатель не кратен p. Значит, после сложения всех дробей получим дробь с числителем, кратным p, и знаменателем, не кратным p.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.028