Условие
Назовём шестизначное число счастливым, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)
Решение
Разобьём номера всех счастливых билетов на две группы. В первую группу отнесём номера, которые состоят из двух равных трёхзначных чисел (например, 765765). Все остальные номера отнесём ко второй группе. Поскольку
abcabc = abc·1001 = abc·7·11·13, то каждый номер из первой группы делится на 13, а, значит, делится на 13 и сумма всех номеров из первой группы. Рассмотрим номер abcdef из второй группы (abc ≠ def). Вместе с этим номером во второй группе находится и номер defabc. Таким образом, все номера из второй группы разбиваются на пары. Сумма номеров в каждой паре делится на 13, так как abcdef + defabc = (abc + def)·1001. Поэтому делится на 13 и сумма всех номеров из второй группы.
Источники и прецеденты использования
