Задача 60664

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Число x таково, что x² заканчивается на 001 (в десятичной системе счисления).
Найдите три последние цифры числа x (укажите все возможные варианты).

Решение

(x – 1)(x + 1) = x² – 1  делится на  1000 = 2³·5³.  Следовательно, оба числа  x – 1  и  x + 1  чётны (тогда одно из них делится на 4, а их произведение – на 8), а одно из них делится на 125, а значит, и на 250.

Ответ

001, 249, 251, 499, 501, 749, 751, 999.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.038