Задача 60675

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Условие

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, ..., 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число.

Решение

Среди чисел 1, 2, ..., 99 – 50 нечётных и 49 чётных. Это значит, что на одной из карточек на обеих сторонах будут написаны нечётные числа. Их сумма чётна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.049