Задача 60686

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если все коэффициенты уравнения  ax² + bx + c = 0  – целые нечётные числа, то ни один из корней этого уравнения не может быть рациональным.

Подсказка

Найдите остаток от деления дискриминанта на 8.

Решение

b² ≡ 1 (mod 8)  (см. задачу 34944),  4ab ≡ 4 (mod 8)  (так как ab нечётно). Значит, дискриминант  b² – 4ab ≡ 5 (mod 8)  и поэтому не может быть полным квадратом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.060