Задача 60697

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Целые числа a, b, c и d таковы, что  a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴  делится на 5. Докажите, что abcd делится на 625.

Решение

a⁴ ≡ 0 или 1 (mod 5).  Сумма четырёх таких остатков делится на 5 только, когда все 4 равны 0. Значит, каждое из чисел кратно 5, а их произведение делится на 625.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.071