Задача 60698

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Целые числа a, b и c таковы, что  a³ + b³ + c³  делится на 7. Докажите, что abc делится на 7.

Решение

Пусть a не делится на 7. Тогда по малой теореме Ферма  (a³ – 1)(a³ + 1) = a⁶ – 1  делится на 7. Значит, одно из чисел  a³ – 1,  a³ + 1  делится на 7, то есть
a³ ≡ ±1 (mod 7).  То же верно для чисел b³ и c³. Но сумма трёх чисел вида ±1 не делится на 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 9.1
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.072