Задача 60722

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Клемента.

Условие

Докажите, что числа p и  p + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Решение

  Согласно задачам 60719 и 60458 число p – простое  ⇔  (p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)  ⇔  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p).
  Остается доказать, что  p + 2  – простое ⇔  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p + 2).
  Заметим, что  p(p + 1) ≡ – 2(p + 1) ≡ 2 (mod p + 2).  Поэтому  2(p + 1)! ≡ 4(p – 1)! (mod p + 2),  откуда  2((p + 1)! + 1) + (p + 2) ≡ 4((p – 1)! + 1) + p (mod p + 2).
  p + 2  – число простое  ⇔  (p + 1)! + 1 ≡ 0 (mod p + 2)  ⇔  2((p + 1)! + 1) + (p + 2) ≡ 0 (mod p + 2)  ⇔  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p + 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.096