Задача 60726

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Обыкновенные дроби ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10 Название задачи: Гармонические числа.

Условие

Докажите, что числа  H_n = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ... + ¹/_n  при  n > 1  не будут целыми.

Подсказка

Выберите среди чисел 1, 2, ..., n то, которое делится на максимальную степень двойки.

Решение

Найдётся такое m, что  2^m ≤ n < 2^m+1.  Ясно, что     где  k < m,  а b нечётно. Следовательно,     – дробь с нечётным числителем и чётным знаменателем.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.100