Задача 60727

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Решите в натуральных числах уравнение   1! + 2! + ... + n! = m².

Подсказка

Рассмотрите последние цифры указанных чисел.

Решение

  n! делится на 10 при  n ≥ 5.  Поэтому при  n ≥ 4  левая часть сравнима с  1 + 2 + 6 + 24,  то есть с 3 по модулю 10. А квадрат не может оканчиваться тройкой.
  Случаи  n = 1, 2, 3  перебираются.

Ответ

(1, 1)  и  (3, 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.101