Задача 60735

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Докажите, что
  а)    делится на 13;
  б)    делится на 17.

Решение

  а) Первый способ.    делится на  111111 = 111·1001,  а 1001 делится на 13.

  Второй способ.  9·1...1 = 10¹² – 1  делится на 13 согласно малой теореме Ферма. Поскольку 9 и 13 взаимно просты, то и 1…1 делится на 13.

  б)  9·1...1 = 10¹⁶ – 1  делится на 17 согласно малой теореме Ферма. Поскольку 9 и 17 взаимно просты, то и 1...1 делится на 17.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.109