Задача 60740

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  a^k ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.

Решение

Пусть  p – 1 = qk + r,  где  0 ≤ r < k.  1 ≡ a^p–1 ≡ a^r (mod p).  По условию число r – не натуральное, то есть  r = 0,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.114