Задача 60741

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Индукция (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение  a^p ≡ a (mod p).

Решение

При  a = 0  утверждение очевидно. Предположим, что оно доказано для некоторого  a ≥ 0.  Из задачи 60668 следует, что   (a + 1)^p ≡ a^p + 1 (mod p).  Применяя предположение индукции, приходим к нужному сравнению.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.115