Задача 60742

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Известно, что  a¹² + b¹² + c¹² + d¹² + e¹² + f¹²  делится на 13 (a, b, c, d, e, f – целые числа). Докажите, что abcdef делится на 13⁶.

Решение

Согласно малой теореме число вида n¹² при делении на 13 может давать остаток 0 (если n кратно 13) или 1 (в противном случае). Сумма шести таких остатков делится на 13. только когда все они равны нулю. Значит, каждое из чисел a, b, c, d, e, f делится на 13.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.116