Задача 60752

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если  x² + 1  (x – целое) делится на нечётное простое p, то  p = 4k + 1.

Решение

Ясно, что x не делится на p. По малой теореме Ферма  1 ≡ x^p–1 = (x²)^(p–1)/2 ≡ (–1)^(p–1)/2 (mod p).  Следовательно, число  ^p–1/₂  чётно, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.126