Задача 60772

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если  n > 2,  то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем n чётно.

Решение

Все такие дроби можно разбить на пары ^k/_n, ^n–k/_n. Числа в такой паре совпадать не могут. Действительно, из равенства  ^k/_n = ^n–k/_n  следует, что n чётно,
k = ⁿ/₂ и дробь ^k/_n можно сократить на ⁿ/₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.146