Задача 60779

Темы:    [ Теорема Эйлера ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Эйлера.

Условие

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pⁿ;
  б) в общем случае.

Решение

  а)  φ(pⁿ) = (p – 1)p^n–1.  Согласно малой теореме Ферма  a^p–1 = 1 + kp.  Следовательно,

  ...,  

  б) Пусть    Как известно,    Согласно а)    Поскольку числа    взаимно просты,
a^φ(m) ≡ 1 (mod m).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.153