Задача 60817

Темы:    [ Системы счисления (прочее) ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

а) Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2.

б) Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом  m > 1.

Решение

Сравнение  a_nqⁿ + ... + a₁q + a₀ ≡ a_n + ... + a₁ + a₀ (mod m)  равносильно сравнению  a_n(qⁿ – 1) + ... + a₁(q – 1) ≡ 0 (mod m),  которое имеет место независимо от a_i тогда и только тогда, когда  q – 1 ≡ 0 (mod m).  В частности, для  m = 2  годится система счисления с любым нечётным основанием.

Ответ

а) Системы с нечётным основанием;   б)  q = 1 + mk  (k ≥ 1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.191