Задача 60834

Темы:    [ Китайская теорема об остатках ] [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Какие цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы число 454** делилось на 2, 7 и 9?

Решение 1

Пусть это цифры a и b. Чтобы число было чётным, цифра b должна быть чётна, чтобы число делилось 9,  a + b  должно равняться 5 или 14. Получаем пять вариантов – 45414, 45432, 45450, 45468, 45486, – из которых только 45486 делится на 7.

Решение 2

Задача сводится к нахождению числа x, удовлетворяющего системе  x ≡ 0 (mod 2),  x ≡ 5 (mod 7),  x ≡ 5 (mod 9),  0 ≤ x < 100.

Ответ

45486.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	6
Название	Китайская теорема об остатках
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.208